Benvenuto su MathDSA

Uno spazio senza distrazioni, progettato per studiare la matematica in modo visivo, pulito e accessibile.

Formulario Geometria

Quadrato

Perimetro: $$P = l \times 4$$ Inversa: $$l = P : 4$$

Area: $$A = l^2$$ Inversa: $$l = \sqrt{A}$$

Rettangolo

Perimetro: $$P = (b + h) \times 2$$ Inv: $$b = (P : 2) - h$$

Area: $$A = b \times h$$ Inv: $$b = A : h$$ | $$h = A : b$$

Triangolo

Perimetro: $$P = l_1 + l_2 + l_3$$

Area: $$A = \frac{b \times h}{2}$$ Inv: $$b = \frac{A \times 2}{h}$$ | $$h = \frac{A \times 2}{b}$$

Cerchio

Circonferenza: $$C = 2 \times \pi \times r$$ Inv: $$r = \frac{C}{2 \pi}$$

Area: $$A = \pi \times r^2$$ Inv: $$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$$

Rombo

Perimetro: $$P = l \times 4$$ Inv: $$l = P : 4$$

Area: $$A = \frac{d_1 \times d_2}{2}$$ Inv: $$d_1 = \frac{A \times 2}{d_2}$$

Trapezio

Perimetro: $$P = B + b + l_1 + l_2$$

Area: $$A = \frac{(B + b) \times h}{2}$$ Inv: $$h = \frac{A \times 2}{(B + b)}$$

Cubo

Area Totale: $$A_{tot} = 6 \times l^2$$ Inv: $$l = \sqrt{\frac{A_{tot}}{6}}$$

Volume: $$V = l^3$$ Inv: $$l = \sqrt[3]{V}$$

Prisma Regolare

Area Laterale: $$A_l = P_b \times h$$ Inv: $$P_b = \frac{A_l}{h}$$ | $$h = \frac{A_l}{P_b}$$

Volume: $$V = A_b \times h$$ Inv: $$A_b = \frac{V}{h}$$ | $$h = \frac{V}{A_b}$$

Piramide

Area Laterale: $$A_l = \frac{P_b \times a}{2}$$ Inv: $$P_b = \frac{A_l \times 2}{a}$$ | $$a = \frac{A_l \times 2}{P_b}$$

Volume: $$V = \frac{A_b \times h}{3}$$ Inv: $$A_b = \frac{V \times 3}{h}$$ | $$h = \frac{V \times 3}{A_b}$$

Sfera

Superficie: $$S = 4 \times \pi \times r^2$$ Inv: $$r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$

Volume: $$V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$$ Inv: $$r = \sqrt[3]{\frac{V \times 3}{4\pi}}$$

Cono

Area Laterale: $$A_l = \pi \times r \times a$$ Inv: $$a = \frac{A_l}{\pi \times r}$$ | $$r = \frac{A_l}{\pi \times a}$$

Volume: $$V = \frac{\pi \times r^2 \times h}{3}$$ Inv: $$h = \frac{V \times 3}{\pi \times r^2}$$

Cilindro

Area Laterale: $$A_l = 2\pi \times r \times h$$ Inv: $$h = \frac{A_l}{2\pi \times r}$$ | $$r = \frac{A_l}{2\pi \times h}$$

Volume: $$V = \pi \times r^2 \times h$$ Inv: $$A_b = \frac{V}{h}$$ | $$h = \frac{V}{\pi \times r^2}$$

I Segmenti e le Operazioni

Impariamo a calcolare con i segmenti usando i colori e i disegni.

Cos'è un Segmento?

$$\overline{AB}$$

Addizione (Somma)

$$\overline{AB} + \overline{CD} = \overline{AD}$$

Sottrazione (Differenza)

$$\overline{AB} - \overline{CD} = \overline{DB}$$

Multiplo (Moltiplicazione)

3

$$3 \times \overline{AB} = \overline{AD}$$

Sottomultiplo (Divisione)

3

$$\overline{AB} : 3 = \overline{AC}$$

Problemi Classici: I "Pezzetti"

Risolvere i problemi usando i segmentini (le unità frazionarie).

1. Conosco Somma e Multiplo

Es: Due segmenti sommano 15 cm e uno è il doppio dell'altro.

Tot: 3 Pezzetti = 15 cm

1 Pezzetto = Somma : Totale Pezzi

$$15 : 3 = \boldsymbol{5} \text{ cm}$$ (A)
$$5 \times 2 = \boldsymbol{10} \text{ cm}$$ (B)

2. Conosco Differenza e Multiplo

Es: Un segmento è il triplo dell'altro. La differenza è 12 cm.

1 Pezzetto = Differenza : Pezzi di Diff.

$$12 : 2 = \boldsymbol{6} \text{ cm}$$ (A)
$$6 \times 3 = \boldsymbol{18} \text{ cm}$$ (B)

3. Conosco Somma E Differenza

Es: Somma = 20 cm e Differenza = 4 cm.

Seg. Piccolo = (Somma - Differenza) : 2

$$(20 - 4) : 2 = \boldsymbol{8} \text{ cm}$$ (Piccolo)
$$8 + 4 = \boldsymbol{12} \text{ cm}$$ (Grande)

Gli Insiemi

Come raggruppare elementi con caratteristiche in comune usando i Diagrammi di Venn.

Cos'è un Insieme?

Aggettivo chiave: Oggettivo (Senza dubbi!)

SÌ, è un Insieme

• I giorni della settimana
• Le vocali dell'alfabeto
• I numeri pari minori di 10

NO, non è un Insieme

• I ragazzi simpatici
• I film belli
• I numeri molto grandi

Come si Rappresentano? (Venn)

Esistono tre modi: Elencazione, Caratteristica, ed Eulero-Venn. Ecco il Diagramma di Venn delle Vocali:

V

• a

• e

• i

• o

• u

Elencazione (Tabulare):
$$V = \{a, e, i, o, u\}$$

Caratteristica:
$$V = \{x \mid x \text{ è una vocale}\}$$

Appartenenza

$$\in$$

Appartiene

Es: $$a \in V$$
("a" sta dentro V)

$$\notin$$

NON Appartiene

Es: $$b \notin V$$
("b" non sta in V)

Operazioni: Unione e Intersezione

UNIONE ($$\cup$$) = Tutto

$$A \cup B$$
Uniamo i due cerchi e
coloriamo TUTTO.

INTERSEZIONE ($$\cap$$) = In Comune

$$A \cap B$$
Guarda dove i cerchi si sovrappongono:
colora solo in MEZZO.

Le Frazioni

Capire le parti di un intero in modo visivo e pratico.

Cosa sono le Frazioni?

Numeratore

Denominatore

Sopra: Le fette che "prendi".

Sotto: In quante fette totali è tagliata la torta.

Moltiplicazione (Si fa "In linea")

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

$$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$$

Divisione (Si "Gira" la seconda)

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

$$\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$$

Addizione / Sottrazione Stesso Denominatore

Regola d'oro: se il numero sotto è uguale, non toccarlo! Fai l'operazione solo sui numeri sopra.

Guarda il Denominatore

$$\frac{3}{\color{#2563eb}5} + \frac{1}{\color{#2563eb}5}$$

Mantenilo intatto e somma i numeratori

$$\frac{3 + 1}{5} = \frac{\boldsymbol{4}}{\boldsymbol{5}}$$

Addizione / Sottrazione Denominatore Diverso

Se i numeri sotto sono diversi, non puoi sommare! Devi prima trasformare le frazioni per fargli avere lo stesso denominatore usando il m.c.m.

Obiettivo: Sommare queste frazioni

$$\frac{3}{\color{#2563eb}4} + \frac{5}{\color{#10b981}6}$$

Trova il m.c.m. dei denominatori (4 e 6)

Multipli di 4: 4, 8, 12, 16...

Multipli di 6: 6, 12, 18...

Il m.c.m. è 12.

$$\frac{...}{\color{#e11d48}12} + \frac{...}{\color{#e11d48}12}$$

Trasforma i Numeratori

Dividi il nuovo denominatore per quello vecchio, e moltiplica per il numeratore:
(Nuovo : Vecchio) × Sopra

$$\frac{(12:4)\times3}{\color{#e11d48}12} + \frac{(12:6)\times5}{\color{#e11d48}12}$$
$$\frac{3\times3}{12} + \frac{2\times5}{12}$$

Ora hanno lo stesso denominatore: Somma!

$$\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{\boldsymbol{19}}{\boldsymbol{12}}$$

Calcolatore Frazioni

Inserisci due frazioni per calcolarne la somma o la differenza!

Proprietà delle 4 Operazioni

Scorciatoie e regole utili per calcoli a mente più veloci!

Addizione

Commutativa

$$a + b = b + a$$

$$3 + 5 = 5 + 3 = 8$$

Associativa

$$(a + b) + c = a + (b + c)$$

$$(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$$

Dissociativa

$$a + b = (x + y) + b$$ con $$a = x + y$$

$$15 + 7 = (10 + 5) + 7 = 22$$

Sottrazione

Invariantiva

$$a - b = (a + c) - (b + c)$$ $$a - b = (a - c) - (b - c)$$

$$12 - 5 = (12 + 2) - (5 + 2) = 14 - 7 = 7$$

Moltiplicazione

Commutativa

$$a \times b = b \times a$$

$$4 \times 3 = 3 \times 4 = 12$$

Associativa

$$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$$

$$(2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 24$$

Dissociativa

$$a \times b = (x \times y) \times b$$ con $$a = x \times y$$

$$12 \times 5 = (3 \times 4) \times 5 = 60$$

Distributiva

$$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$$ $$a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c)$$

$$2 \times (3 + 4) = (2 \times 3) + (2 \times 4) = 14$$

Divisione

Invariantiva

$$a : b = (a \times c) : (b \times c)$$ $$a : b = (a : c) : (b : c)$$

$$20 : 5 = (20 \times 2) : (5 \times 2) = 40 : 10 = 4$$

Distributiva

$$(a + b) : c = (a : c) + (b : c)$$ $$(a - b) : c = (a : c) - (b : c)$$

$$(10 + 6) : 2 = (10 : 2) + (6 : 2) = 5 + 3 = 8$$

Le Proprietà delle Potenze

Regole d'oro per semplificare i calcoli e non imparare a memoria!

1. Prodotto (stessa base)

$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

$$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$$

2. Quoziente (stessa base)

$$a^m : a^n = a^{m-n}$$

$$5^6 : 5^2 = 5^{6-2} = 5^4$$

3. Potenza di Potenza

$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$

$$(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8$$

4. Prodotto (stesso esponente)

$$a^n \times b^n = (a \times b)^n$$

$$2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3$$

Equazioni e Monomi

I Monomi

Cos'è un Monomio?

-3 · x²

Numero rosso: Coefficiente.

Lettere blu: Parte Letterale.

Somma e Sottrazione

Puoi sommarli SOLO
SE SONO SIMILI!

$$2{\color{#2563eb}a} + 3{\color{#2563eb}a} = 5{\color{#2563eb}a}$$ $$2{\color{#2563eb}a} + 3{\color{#10b981}b} = $$ NON SI PUÒ FARE!

Moltiplicazione

1. Numeri $\times$ Numeri
2. Somma esponenti lettere uguali

$$(+2{\color{#2563eb}a^2}) \times (-3{\color{#2563eb}a^3}) = -6{\color{#2563eb}a^{2+3}} = -6{\color{#2563eb}a^5}$$

Divisione

1. Numeri ÷ Numeri
2. Sottrai gli esponenti delle lettere uguali

$$\frac{-6{\color{#2563eb}a^5}}{+2{\color{#2563eb}a^2}} = -3{\color{#2563eb}a^{5-2}} = -3{\color{#2563eb}a^3}$$ ⚠️ Se gli esponenti sono uguali il risultato è solo il coefficiente numerico!

I Polinomi

Cos'è un Polinomio?

Il trenino dei Monomi:

$$3x^2 + 5y - 2xy$$

Moltiplicare Monomio × Polinomio

Regola del "Tutti per Tutti"
$$a \times (b + c) \rightarrow ab + ac$$

$$2x \times (3x + 4) = (2x \cdot 3x) + (2x \cdot 4) = 6x^2 + 8x$$

Divisione Polinomio ÷ Monomio

Dividi ogni termine del polinomio
per il monomio:
$$\frac{a + b}{c} \rightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$$

$$\frac{6x^3 + 4x^2 - 2x}{2x} = \frac{6x^3}{2x} + \frac{4x^2}{2x} - \frac{2x}{2x}$$ $$= 3x^2 + 2x - 1$$

Divisione Polinomio ÷ Polinomio

Funziona come la divisione lunga tra numeri. Procedi termine per termine:

① Dividi il 1° termine

Dividi il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore → primo termine del quoziente.

② Moltiplica e sottrai

Moltiplica il termine trovato per l'intero divisore e sottrai il risultato dal dividendo.

③ Ripeti

Il resto diventa il nuovo dividendo. Ripeti dal passo ① finché il grado del resto è minore del grado del divisore.

Esempio: $(x^2 + 5x + 6) \div (x + 2)$

① $x^2 \div x = x$ → primo termine del quoziente
② $x \cdot (x+2) = x^2 + 2x$ → sottraiamo: $(x^2+5x+6) - (x^2+2x) = 3x+6$
③ $3x \div x = 3$ → secondo termine del quoziente
④ $3 \cdot (x+2) = 3x+6$ → sottraiamo: $(3x+6)-(3x+6) = 0$ (resto zero!)

$$(x^2 + 5x + 6) \div (x + 2) = x + 3$$

Spiegazione Equazioni

Incognita (x) Numeri

Equazioni di 1° Grado

Obiettivo: isolare la x da una parte e spostare i numeri dall'altra, cambiando segno quando scavalcano l'uguale.

1

Testo Iniziale

3x - 5 = x + 7

2

Sposta e cambia segno

La x va a sinistra, il numero va a destra.

3x - x = 7 + 5

3

Fai i calcoli

2x = 12

Dividi e Trova la soluzione

x = 12 / 2 x = 6

Equazioni di 2° Grado

Obiettivo: formattare l'equazione come $$ax^2 + bx + c = 0$$ e usare la formula del Delta.

1. Calcola il Delta (Discriminante)

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Se $$\Delta > 0$$: Due soluzioni distinte.
Se $$\Delta = 0$$: Una sola soluzione.
Se $$\Delta < 0$$: Nessuna soluzione reale.

2. Applica la formula risolutiva

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Editor Semplificato

Scrivi la tua equazione con i bottoni giganti o i numeri della tastiera! Guarda il risultato apparire come per magia.

La tua equazione apparirà qui...

Premi i tasti sopra per le variabili e le radici. Usa la tastiera numerica del tuo PC per inserire i numeri!

Il Teorema di Pitagora

La regola magica dei triangoli rettangoli.

Cos'è?

In ogni triangolo rettangolo (quello con l'angolo a 90°):

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Dove a e b sono i cateti (i lati corti)
e c è l'ipotenusa (il lato lungo inclinato).

Le Formule Pratiche

Trova Ipotenusa: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Trova Cateto: $$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

Calcolatore di Pitagora

Cosa vuoi calcolare?

Cateto 1 (a)

Cateto 2 (b)

Ipotenusa (c)

Criteri di Divisibilità

Scoprì al volo se un numero si può dividere senza fare la divisione!

Mettimi alla prova!

Scrivi un numero e scopri per cosa è divisibile:

2

3

5

7

9

11

Divisibilità per 2

Guarda solo l'ultima cifra:

Deve essere: 0, 2, 4, 6, 8

124 (Sì)
357 (No)

Divisibilità per 3

Somma tutte le cifre. Il totale deve essere in tabellina del 3.

123 $\rightarrow$ 1+2+3 = 6 (Sì)
452 $\rightarrow$ 4+5+2 = 11 (No)

Divisibilità per 5

Guarda l'ultima cifra:

Deve essere: 0 oppure 5

155 (Sì)
243 (No)

Divisibilità per 7

Numero (senza ultima cifra) - doppia ultima cifra.

91 $\rightarrow$ 9 - (1 $\times$ 2) = 7 (Sì)
154 $\rightarrow$ 15 - (4 $\times$ 2) = 7 (Sì)

Divisibilità per 9

Somma le cifre. Il totale deve essere in tabellina del 9.

729 $\rightarrow$ 7+2+9 = 18 (Sì)
123 $\rightarrow$ 1+2+3 = 6 (No)

Divisibilità per 11

Differenza tra (somma cifre dispari) e (somma cifre pari).

121 $\rightarrow$ (1+1) - 2 = 0 (Sì)
1331 $\rightarrow$ (1+3) - (3+1) = 0 (Sì)

Radici e Numeri Irrazionali

L'estrazione di radice e i numeri che non finiscono mai.

Cos'è la Radice Quadrata?

L'inverso della
POTENZA

$$\sqrt{25} = 5$$
perché $5 \times 5 = 25$

I Quadrati Perfetti

Sono i numeri "buoni" che hanno una radice intera:

$$\sqrt{1} = 1$$

$$\sqrt{4} = 2$$

$$\sqrt{9} = 3$$

$$\sqrt{16}=4$$

$$\sqrt{25}=5$$

$$\sqrt{36}=6$$

Numeri Irrazionali

Sono numeri con infinite cifre dopo la virgola che non si ripetono mai.

Esempi famosi:

$$\pi \approx 3,14159...$$

(Il famoso Pi Greco)

$$\sqrt{2} \approx 1,41421...$$

(Radice di 2)

Proprietà delle Radici

Prodotto

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$

Quoziente

$$\sqrt{a : b} = \sqrt{a} : \sqrt{b}$$

⚠️ ATTENZIONE: Non si può fare con il + e con il - !

I Numeri Relativi

Numeri con il segno: quando la matematica va "sotto zero".

Cosa sono?

Positivi (+)

$$+5, +10, +100$$

Sopra lo zero, guadagni.

Negativi (-)

$$-3, -12, -50$$

Sotto lo zero, debiti.

Valore Assoluto (Modulo)

Il numero
SENZA SEGNO

$$|-7| = 7$$
$$|+3| = 3$$

La Regola dei Segni

Per moltiplicazione ($\cdot$) e divisione (:)

$$+ \cdot + = \color{#16a34a}{+}$$
$$- \cdot - = \color{#16a34a}{+}$$

CONCORDI $\rightarrow$ PIÙ

$$+ \cdot - = \color{#e11d48}{-}$$
$$- \cdot + = \color{#e11d48}{-}$$

DISCORDI $\rightarrow$ MENO

Somma e Sottrazione

Segni Uguali: Somma i numeri e tieni il segno.
$$-3 - 4 = -7$$

Segni Diversi: Sottrai (grande - piccolo) e tieni il segno del "più forte".
$$+10 - 15 = -5$$

MCD e mcm

I segreti dei divisori comuni e dei multipli che si incontrano.

M.C.D. (Massimo Comune Divisore)

È il divisore più grande che hanno in comune.

Esempio tra 12 e 18:
Divisori di 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisori di 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

M.C.D. = 6

m.c.m. (minimo comune multiplo)

È il multiplo più piccolo che hanno in comune.

Esempio tra 4 e 6:
Multipli di 4: 4, 8, 12, 16...
Multipli di 6: 6, 12, 18...

m.c.m. = 12

Calcolatore Rapido

Il Piano Cartesiano

Impariamo a muoverci nello spazio usando le coordinate.

Cos'è il Piano Cartesiano?

Punto: $P(x; y)$

Origine: $O(0; 0)$

Distanza tra due punti

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Calcolatore Distanza

Punto A $(x_1, y_1)$

Punto B $(x_2, y_2)$

Statistica di Base

Impariamo a raccogliere e analizzare i dati.

Frequenza Assoluta e Percentuale

F. Assoluta: numero di presenze.

F. Percentuale: $\frac{\text{f. assoluta}}{\text{totale}} \times 100$

Media, Moda e Mediana

Media: Si calcola sommando tutti i valori e dividendo il totale per quanti sono i dati.

$$\text{Media} = \frac{\text{Somma di tutti i dati}}{\text{Numero dei dati}}$$

Moda: Il valore più frequente.

Mediana: Valore centrale (dati ordinati).

Calcolatore Statistico Interattivo

Inserisci i dati (separati da virgola o spazio):